A. The Arichmetic And Logic Unit

ALU, singkatan dari Arithmetic And Logic Unit (bahasa Indonesia: unit aritmatika dan logika), adalah salah satu bagian dalam dari sebuah mikroprosesor yang berfungsi untuk melakukan operasi hitungan aritmatika dan logika. Contoh operasi aritmatika adalah operasi penjumlahan dan pengurangan, sedangkan contoh operasi logika adalah logika AND dan OR. tugas utama dari ALU (Arithmetic And Logic Unit)adalah melakukan semua perhitungan aritmatika atau matematika yang terjadi sesuai dengan instruksi program.

ALU melakukan operasi aritmatika yang lainnya.Seperti pengurangan, pengurangan, dan pembagian dilakukan dengan dasar penjumlahan.Sehingga sirkuit elektronik di ALU yang digunakan untuk melaksanakan operasi aritmatika ini disebutadder. ALU melakukan operasi arithmatika dengan dasar pertambahan, sedang operasi arithmatika yang lainnya, seperti pengurangan, perkalian, dan pembagian dilakukan dengan dasar penjumlahan.sehingga sirkuit elektronik di ALU yang digunakan untuk melaksanakan operasi arithmatika ini disebut adder.

Tugas lain dari ALU adalah melakukan keputusan dari operasi logika sesuai dengan instruksi program. Operasi logika (logical operation) meliputi perbandingan dua buah elemen logika dengan menggunakan operator logika, yaitu:

sama dengan (=)

tidak sama dengan (<>)

kurang dari (<)

kurang atau sama dengan dari (<=)

lebih besar dari (>)

lebih besar atau sama dengan dari (>=)

Gambar Input dan output dari ALU

B. Representasi Integer

Dalam sistem bilangan biner, ¹semua bilangan dapat direpresentasikan dengan hanya menggunakan digit-digit nol dan satu, tanda minus, dan tanda titik.

-1101.0101₂= - 13,3125₁₀

Namun, untuk keperluan pengolahan dan penyimpanan komputer, kita tidak perlu merepresentasikan bilangan. Jika kita hanya terbatas pada integer nonnegatif, maka representasinya akan lebih mudah.

Sebuah word 8-bit dapat digunakan untuk merepresentasikan bilangan-bilangan dari 0 hingga

00000000 = 0

00000001 = 1

00101001 = 41

10000000 = 128

11111111 = 255

Secara umum, jika sebuah rangkaian n-bit bilangan biner a_n-1a_n-2....a₁a₀direpresentasikan sebagai suatu integer tanpa A, nilainya adalah

A = ⁱ a_i

Representasi Magnituda Tanda (Sign-magnitude)

Terdapat beberapa konvensi alternatif yang digunakan untuk merepresentasikan bilangan integer negatif seperti halnya bilangan integer positif, semua konpensi tersebut meliputi perlakuan bityang paling signifikan (paling kiri) di dalam word sebagai bit tanda. Jika bit tanda adalah 0, maka bilangan tersebut positif; jika bit tanda adalah 1, maka bilangan tersebut adalah negatif.

Bentuk reprentasi yang paling sederhana yang memakai bit tanda adalah adalah reprentasi magnituda tanda. pada suatu word n-bit, bit n-1 paling kanan menampung nilai integer.

+18= 00010010

-18= 10010010 (magnituda tanda)

Secara umum kasus tersebut adalahdapatdiekspresikan sebagai berikut:

Terdapat beberapa kelemahan pada representasi magntuda tanda.salah satunya adalah bahwa penambahan dan pengurangan memerlukan pertimbangan baik tanda bilangan maupun nilai relatifnya untuk menyelesaikan operasi yang diperlukan. Masalah ini adalah menjadi jelas dalam pembahasan pada sub bab 9.3. kelemahan yang lain adalah bahwaterdapatdua reprentasi bilangan 0.

+ 0₁₀ = 00000000

- 0₁₀ = 10000000 (magnituda tanda)

Hal ini merepotkan, karena akan menyulitkan pemeriksaan bilangan 0 (suatu operasi yang sering dilakukan pada komputer) dibandingkan jika menggunakan representasi tunggal.

Karea kelemahan ini, representasi magnituda tanda jarang digunakan di dalam implementasi bagian bilangan integer ALU.Disamping itu, teknik yang paling umum adalah representation komplemen dua.

Representasi Komplemen Dua

Seperti halnya magnituda tanda, representasi komplemen dua menggunakan bit yang paling signifikan sebagai bit tanda, yang memudahkannya untuk mengetahui apakah suatu integer bernilai positif atau negatif. Representasi ini berbeda dengan penggunaan representasi magnitude tanda dalam cara dengan bit-bit lainnya diinterpretasikan. Tabel 9.1 menekankan karakteristik penting representasi komplemen dua dan aritmetika, yang dibahas dalam bagian ini dan yang berikutnya.

Sebagian besar perlakuan representasi komplemen dua menfokuskan pada aturan untuk menghasilkan bilangan-bilangan negatif, dengan tidak ada bukti formal bahwa teknik “bekerja“. Di samping itu, pembahasan kita tentang integer-integer komplemen dua dalam bagian ini dan dalam Subbab 9.3 berdasarkan pada (DATT93), yang menyatakan bahwa representasi

Range	-2^n-1sampai 2^n-1- 1
Jumlah representasi nol	Satu
Negasi	Ambil komplemen Boolean dari setiap bit yang bersesuaian dengan bilangan positif, kemudian tambahkan 1 untuk menghasilkan pola bit yang dilihat sebagai integer tanpa tanda.
Perluasan panjang bit	Tambahkan posisi bit tambahan ke kiri da nisi dengan bit magnituda tanda asli.
Aturan overflow	Jika dua bilangan-bilangan dengan tanda yang sama (keduanya bilangan positif atau keduanya bilangan negatif) ditambahkan, maka terjadi overflow jika dan hanya jika hasilnya mempunyai tanda berkebalikan.
Aturan pengurangan	Untuk mengurangi B dari A, ambil komplemen kedua dari B dan menambahkannya ke A.

Komplemen dua adalah terbaik untuk dipahami oleh pendefenisiannya dalam kaitannya dengan penjumlahan bit-bit berbobot, seperti ketika kita melakukan sebelumnya pada representasi tanpa tanda dan magnitude tanda.Keuntungan perlakuan yang demikian adalah bahwa representasi itu tidak meninggalkan keraguan apapun dimana aturan operasi-operasi aritmatika di dalam dua notasi komplemen tidak dapat bekerja untuk beberapa kasus khusus.

Perhatikan suatu integer n-bit, A, dalam representasi komplemen dua. Jika A bilangan positif, maka bit tanda, a_n-1, adalah nol. Bit-bit lainnya merepresentasikan nilai bilangan dalam mode yang sama dengan magnitude tanda:

A= 2 untuk A ≥ 0

Bilangan nol akan didefenisikan sebagai bilangan positif dan sehingga mempunyai bit tanda 0 dan nilai keseluruhan 0. Kita dapat melihat bahwa cakupan integer positif yang dapat direpresentasikan mulai dari 0 (semua bit nilainya adalah 0) hingga 2^n-1 – 1 (semua bit nilainya adalah 1). Bilangan yang lebih besar maupun akan memerlukan bit yang lebih banyak.

Sekarang, untuk bilangan negatif A (Ad “0), bit tanda, a_n-1, adalah satu.n – 1 bit sisanya dapat mengambil salah satu dari nilai-nilai 2^n-1. Oleh karena itu, cakupan integer negative yang dapat direpresentasikan adalah mulai dari 1 hingga- 2^n-1.Kita bermaksud menugaskan nilai-nilai bit ke integer negative sehingga aritmatika dapat ditangani di dalam mode secara langsung, mirip dengan aritmatika integer tanpa tanda. Pada representasi integer tanpa tanda, untuk menghitung nilai integer dari representasi bit, bobot bit-bit yang paling signifikan adalah +2^n-1. Untuk representasi dengan bit tanda, representasi menghasilkan tercapainya aritmatika yang diinginkan, seperti yang akan kita lihat pada sub bab 9.3, jika bobot bit yang paling signifikan adalah -2^n-1. Hal ini merupakan kontrovensi yang digunakan dalam representasi komplemen dua, menghasilkan ekspresi berikut untuk bilangan-bilangan negatif:

A= -2^n-1a_n-1+ (9.2)

Pada kasus bilangan integer positif, a_n-1=0, maka suku -2^n-1a_n-1= 0.Dengan demikian, Persamaan (9.2) mendefenisikan representasi komplemen dua untuk bilangan positif dan negative.

Tabel 9.2 membandingkan magnitude tanda dan representasi komplemen dua integer 4-bit. Walaupun dari sudut pandang manusia komplemenn dua merupakan representasi yang canggung, kita akan lihat bahwa itu memudahkan operasi-operasi aritmatika yang paling utama, penambahan dan pengurangan. Dengan alas an ini, representasi ini sangat umum, representasi ini sangat umum digunakan sebagai representasi prosessor untuk integer.

Suatu ilustrasi yang bbermanfaat tentang sifat representasi komplemen dua adalah kotak nilai, dimana nilainya terdapat jauh pada sisi kanan kotak adalah 1 (2⁰) dan setiap posisi berikutnya ke sebelah kiri merupakan nilai gandanya, sampai posisi yang paling kiri, yang ditiadakan. Seperti yang anda lihat pada gambar 9.2a, bilangan komplemen dua yang paling negtif yang dapat direpresentasikan adalah 2^n-1,jika terdapat sembarang bit selain bit tanda satu, maka bit iitu akan menambahkan jumlah positive terhadap bilangan. Selain itu, jelas bahwa bilangan negative harus mempunyai suatu bilangan 1 pada posisi yang paling kirinya dan bilangan positive harus mempunyai suatu bilangan 0 pada posisi tersebut. Jadi bilangan positif yang paling besar adalah suatu 0 diikuti oleh semua 1, yang sama dengan 2^n-1– 1.

Bagian lainnya pada gambar 9.2 mengilustrasikan penggunaan kotak nilai untuk mengkonversikan komplemen dua ke bilangan decimal dan dari bilangan decimal menjadi komplemen dua.

Tabel 9.2

Representasi Alternatif untuk Integer 4-bit

Representasi Bilangan Desimal	Representasi Magnituda Tanda	Representasi Komplemen Dua	Representasi Terbias
+8	-	-	1111
+7	0111	0111	1110
+6	0110	0110	1101
+5	0101	0101	1100
+4	0100	0100	1011
+3	0011	0011	1010
+2	0010	0010	1001
+1	0001	0001	1000
+0	0000	0000	0111
-0	1000	-
-1	1001	1111	0110
-2	1010	1110	0101
-3	1011	1101	0100
-4	1100	1100	0011
-5	1101	1011	0010
-6	1110	1010	0001
-7	1111	1001	0000
-8	-	1000	-

Gambar 9.2

Penggunaan Kotak Nilai untuk Konversi Antara Dua Bilangan Komplemen Biner dan Bilangan Desimal

-128	64	32	16	8	4	2	1

(a) Suatu delapan posisi kotak nilai komplemen dua

-128	64	32	16	8	4	2	1
1	0	0	0	0	0	1	1

-128 + 2 +1 =-125

(b) konversi biner 10000011 ke decimal

Konversi Antara Panjang Bit yang Berlainan

Kadang-kadang kita perlu mengambil integer n-bit dan menyimpannya di dalam bit m, di mana m > n. Pada notasi magnitude tanda, hal ini mudah terpenuhi: Sederhananya cukup memindahkan bit tanda ke posisi paling kiri yang baru dan mengisi sisanya dengan nol.

+18 = 00010010 (magnituda tanda, 8 bit)

+18 = 0000000000010010 (magnituda tanda, 16 bit)

-18 = 10010010 (magnituda tanda, 8 bit)

-18 = 1000000000010010 (magnituda tanda, 16 bit)

Prosedur ini tidak berlaku bagi integer negative komplemen dua. Dengan menggunakan contoh yang sama,

+18 = 00010010 (komplemen dua, 8 bit)

+18 = 0000000000010010 (komplemen dua, 16 bit)

-18 = 11101110 (komplemen dua, 8 bit)

-32,658 = 10000000001101110 (komplemen dua, 16 bit)

Selanjutnya sampai baris terakhir mudah dilihat dengan menggunakan kotak nilai pada Gambar 9.2.Garis terakhir dapat diverifikasi dengan menggunakan Persamaan 9.2 atau kotak nilai 16-bit.

Di samping itu, aturan integer komplemen dua akan memindahkan bit tanda ke posisi paling kiri yang baru dan mengisinya dengan salinan bit tanda. Untuk bilangan-bilangan positif, isi dengan nol, dan untuk bilangan-bilangan negative, isi dengan satu.Hal ini disebut sebagai perluasan tanda.

-18 = 11101110 (komplemen dua, 8 bit)

-18 = 1111111111101110 (komplemen dua,16 bit)

Untuk mengetahui mengapa aturan ini bisa berlaku, mari kita memperhatikan sekumpulan bilangan integer biner n-bit a_n-1a_n-2….a₁a₀ yang diinterpretasikan sebagai integer komplemen dua A, sehingga nilainya adalah

A = -2^n-1a_{n-1 +}ⁱa_i

Jika A bilangan positif, maka aturan tersebut jelas akan berlaku. Sekarang, jika A negative dan kita akan membuat representasi m-bit, dengan m > n. maka

A = -2^m-1a_{m-1 +}ⁱa_i

Kedua nilai harus sama

-2^m-1a_{m-1 +}ⁱa_i= -2^n-1₊ⁱa_i

-2^m-1a_{m-1 +}ⁱa_i= -2^n-1

2^m-1a_{m-1 +}ⁱa_i= -2^m-1

1 + ⁱ+ ⁱa_i= 1 + ⁱ

ⁱa_i = ⁱ

_m-2= …. = _n-2= _n-1 = 1

Dalam mengerjakan persamaan menjadi persamaan kedua, kita memerlukan n-1 bit paling sedikit signifikan tidak boleh berubah pada kedua representasinya. Kemudian kita akan sampai pada persamaan terakhir, yang hanya akan benar jika semua bit yang berada pada posisi n-1 sampai m-2 adalah 1. Maka dengan demikian aturan ekstensi tanda akan berfungsi.

Representasi Titik Tetap

Terakhir, kita menyebutkan bahwa representasi yang telah dibahas dalam bagian ini kadang-kadang dikenal sebagi titik tetap. Hal ini karena titik radiksnya (titik biner) tetap dan diasumsikan akan berada di sebelah kanan dari digit yang paling kanan. Pemprogram dapat menggunakan representasi yang sama untuk bilangan pecahan biner dengan melakukan peskalaan bilangan-bilangan yang bersangkutan sehingga titik biner secara implisit berada pada lokasi lain.

C. Penambahan dan Pengurangan

Penambahan diilustrasikan pada Gambar9.3.Pertama empat contoh ilustrasi operasi sukses.Jika hasil dari operasi adalah positif, kita mendapatkan angka positif dalam notasi biner biasa. Jika hasil operasi negatif,kita mendapatkanangka negatif dalam bentuk pelengkap berpasangan. Perhatikan bahwa,dalam beberapa kasus,ada sedikit carry luar akhir kata yang diabaikan.

Disamping itu,hasilnya mungkin lebih besar daripada yang dapat di sediakan diword size yang digunakan. Kondisi ini disebut overf low. Ketika over flow terjadi, ALU harus menerima sinyal ini sehingga tidak ada usaha yang dibuat untuk menggunakan hasilnya.Untuk mendeteksi overflow, aturan yang harus diperhatikan : jika dua nomor ditambahkan, dan mereka baik positif atau keduanya negatif, kemudian overflow terjadi jika dan hanya jika hasilnya memiliki tanda berlawanan. Gambar9.3 dan saya menunjukkan contoh overflow.

Pengurangan juga mudah ditangani dengan aturan berikut: Untuk mengurangi salah satu nomor (pengurang) dengan yang lain (dikurang). Ambil dua complement(negasi) dari pengurang dan menambahkannya ke angka yang di kurang tersebut.Selain itu,seperti yang diilustrasikan pada Gambar 9.4. Dua contoh terakhir menunjukkan bahwa aturan overflow masih terjadi.

Beberapa gambaran selain dua complement penambahan dan pengurangan dapat diperoleh dengan melihat gambaran geometris[BENH92], seperti yang ditunjukkan pada Gambar9.5.lingkaran dibagian atas setiap bagian darigam barterbentuk dengan memilih segmen yang tepat dari nomor baris dan bergabung dengan titik akhir. Perhatikan bahwa ketika angka-angka tersebut diletakkan pada sebuah lingkaran ,dua complement dari setiap nomor adalah horizontal berlawanan angka(ditunjukkan dengan garis horizontal putus-putus). Dimulai pada setiap nomor pada lingkaran, kita dapat menambahkan positif (atau mengurangi ke negatif) ke nomor tersebut dengan memindahkan posisi kearah jarum jam,, kita dapat mengurangi ke positif (atau menambahkan knegatif)dari jumlah tersebut dengan memindahkan posisi ke berlawanan. Jika dan hasil operasi aritmatika dalam traversal dari titik di manatitik akhir bergabung, jawaban yang salah diberikan(overflow).

Gambar 9.6 menunjukkan jalur data dan elemenkeras yang diperlukan untuk menyelesaikan penambahan dan pengurangan.Unsur sentral adalah penambah biner, dimana disajikan dua nomor untuk penjumlahan dan menghasilkan jumlah dan indikasi overflow. Penambah bine rmenambahkan dua angkasebagai unsigned integer. (Implementasi logika seorang penambah diberikan dalam Lampiran A.) Untuk itu,dua nomor di sajikan untuk penambah dari dua register, yang ditunjuk dalam hal ini sebagai registerA dan B. Hasilnya dapat disimpan dalam salah satu register atau dalam ketiganya. Indikasi overflow disimpan dalam bendera overflow1-bit(0= tidakoverflow:1 =overflow). Untuk pengurangan, pengurang(Register B) dilewatkan melalui dua komplemen sehingga komplemennya disajikan untuk penambah.

Perkalian

Dibandingkan dengan penambahan dan pengurangan, perkalian merupakan operasi yang kompleks, baik yang dilakukan pada perangkat keras atau perangkat lunak.Sebuah algoritma telah digunakan dalam berbagai komputer.Tujuannya adalah untuk memberikan pembaca beberapa merasa untuk jenis pendekatan biasanya diambil. Kita mulai dengan masalah sederhana perkalian dua unsigned (nonnegatif) interegrs, dan kemudian kita melihat salah satu teknik yang paling umum untuk perkalian jumlah dalam representasi komplemen berpasangan.

Unsigned Integers

Gambar 9.7ilustratedperbanyakanintereger binerunsigned, sebagaimana bisa dilakukan dengan menggunakankertaspensil.Beberapapengamatanpentingdapatdibuat.

Perkalianmelibatkanpartial product, satuuntuksetiap digit dalam multiplier. Partial producttersebutkemudiandijumlahkanuntukmenghasilkanprodukakhir.

Partial productdapatditentukandenganmudah. Apabila bit multiplier adalah 0, Partial productadalah 0. Ketika Multiplier adalah 1, Partial productadalah multiplicand tersebut.

Product yang dihasilkandenganmenjumlahkanPartial product. Untukoperasiini, setiapPartial productberturutdigesersatuposisikeposisirelatifkiriuntukPartial productsebelumnya.

Perkaliandaridua n-bit hasil biner bilangan bulat dalam produk hingga 2n bit dalam panjang (misalnya 11 x 11 = 1001).

Coba dengan pensil dan kertas,ada beberapa hal yangbisa kita lakukan untukmembuatperkaliankomputerisasiyang lebih efisien.Pertama, kitadapat melakukanpenambahanberjalanpada produk sebagiandaripadamenunggusampaiakhir.Ini menghilangkan kebutuhanuntukpenyimpanandarisemuaproduksebagian: registersedikitdiperlukan. Keduakita dapatmenghematwaktupadagenerasiproduksebagian.Untuk setiap10multiplier, tambahkan sebuahdanoperasi pergeseranyang diperlukan: 0tapiuntukmasing-masing,hanyapergeserandiperlukan.

Gambar9.8amenunjukkansebuah implementasimungkinmenggunakanlangkah-langkah ini.Multiplierdanmultiplicanddimuatkeregisteruntuk(QdanM).Sebuah registerketiga,registerA,juga dibutuhkandanpada awalnya diaturke 0.Juga adasebuah1 bitregister C,diinisialisasike 0, yang memegangmembawapotensibityang dihasilkanSelainbentuk.

Pengoperasianmultiplieradalahberikut.Kontrollogikamembacabit darisatumultipliersaatjikaQ0 adalah 1, maka multiplicand ditambahkanke register Adanhasilnyadisimpan di A, dengan bit register C yang digunakanuntuk overflow. Para semua bit dari Register C, A, danQdialihkanke bit yang benar, sehingga bit C masukke Qn-1, Aqmasukkedalam Qs-1. Dan Qq hilang.Jika Q0 adalah 0, dan sebagainya penjumlahan dilakukan, hanya shift. Proses ini diulang untuk setiap bit multiplier asli. Produk yang dihasilkan sedikit 2n terkandung dalam register A dan Q. Sebuah flowchart operasi ditunjukkan pada Gambar 9.9. dan contoh diberikan dalam Gambar 9.8b. Perhatikan bahwa pada siklus kedua, ketikabis multiplier adalah 0, tidakadaoperasitambahan.

Twos Complement Multiplication

Kita telahmelihatbahwapenjumlahan dan pengurangandapat dilakukan padanomor dalamnotasikomplemenduaitudengan memperlakukanmereka sebagaiunsigned integer. Mempertimbangkan

1001

+0011

1100

Jikanomor inidianggapunsigned integer, maka kita menambahkan9 (1001) ditambah 3(0011) untuk mendapatkan 12 (1100). Sebagai bilangan bulatpelengkapberpasangan,kita menambahkan-7(1001) sampai 3 (0011) untuk mendapatkan -4(1100).

skemasederhana ini tidakakan bekerja untukmultipilcation. Untuk melihatini, pikirkan kembaliGambar9.7.dikalikan11 (1011) dengan 13 (11001) untuk mendapatkan 143(10.001.111). Jikakita menafsirkanini sebagaipelengkapnomordua,kita memiliki-5(1011) -3 kali(1101) sama-113(10001111). contoh inimenunjukkanbahwa perkalianmaju straight tidak akan bekerjajika salahmultiplicandataumultipliernegatif.Untuk membenarkan statement ini, kitaharus kembaliuntuk mencari 9.7dan menjelaskanapa yang sedang dilakukandalam hal operasi.Ingatlahbahwa setiapbilangan binerunsigneddapat dinyatakan sebagaijumlah daripangkat 2.Demikian

Selanjutnya, perkalianbilanganbiner dengan 2n ini accumplished dengan menggeser nomor yang ke n bit kiri. Dengan dalam pikiran, Gambar 9.10 Gambar perombakan 9.7untukmembuatgenerasiproduksebagiandenganperkalianeksplisit.Perbedaan hanya pada Gambar 9.10 adalahbahwadalammengakuibahwaproduksebagianharusdipandangsebagai 2n-bit nomor yang dihasilkandari multiplicand n-bit.

Dengandemikian,sebagaiunsigned integer, 4-bit1011isi multiplicanddisimpan dalamkata8-bit sebagai 00001011. Setiapproduksebagian (selainituselama 20) terdiri adalah nomor bergeserke kiri, dengan kosongdi sebelah kanandiisi dengannol(misalnya, pergeserankiridarihasiltempat00101100).

Sekarangkitadapatmenunjukkanbahwa perkalian straight forwardtidak akan bekerja jikamultiplicandadalah negatif.Masalahnyaadalah bahwa setiapkontribusinyadarimultiplicand negatif sebagaiproduksebagianharusangka negative padabidang2n-bit: bittandadariproduksebagianharusberbaris.Hal ini ditunjukkanpada Gambar9.11.

Yang menunjukkan bahwa perkalian dari 1001 dengan 0011. Jika diperlakukan sebagai unsigned integer, perbanyakan dari 9 x 3 = 27 hasil sederhana. Namun, jika 1001 ditafsirkan sebagai nilai pelengkapberpasangan -7, makasetiapproduksebagianharusberpasangan negatif pelengkap jumlah 2n (8) bit, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 9.11b. Catatan bahwa inidilakukandenganpelapiskeluarsetiapsebagiankekiridengan 1s biner.

Jika multiplier negatif, perkalian strightforward juga tidak akan bekerja alasannya adalah bahwa bit multiplier tidak lagi sesuai dengan pergeseran atau perkalian yang harus terjadi. Jikakitahanyamengambilproduksebagianberdasarkansetiap posisi bit, kitaakanmemilikikorespondensiberikut:

Bahkan,apa yang diinginkanadalah -(2 1 + 2 0). Jadimultiplierini tidak dapatdigunakan secara langsungdengan carakita telahmendeskripsikan.

Adasejumlah cara keluar dari ini. Satu akanmengkonversikeduamultiplier danmultiplicanduntukangka positif, melakukan perkalian, dan kemudian mengambilpelengkapberpasangandarihasilnyajika dan hanyajika tandadari dua angkaasliberbeda. Pelaksanalebih sukamenggunakan teknikyang tidak memerlukanlangkahtransformasiakhir.Salah satu yang palingsering digunakan adalahalgoritmaBooth.Algoritma inijuga memiliki manfaatmempercepatprosesperkalian,relatif terhadappendekatan yang lebihmudah

Algoritma Booth digambarkan pada gambar 9.12dan dapat dilihat sebagai berikut.Seperti sebelumnya, multiplier dan multiplic and ditempatkan dalam register Q danM, respetively. Ada juga1-bit register ditempatkan secara logis di sebelah kananleast significant bit(Q0) dari registerQ danditentukannyaQ-1: penggunaannyadijelaskan kemudian. Hasilperkalianakan muncu ldalam daftar A dan Q,A dan Q-1 diinisialisasi ke 0.Seperti sebelumnya,kontrol logikascanbitmultipliersatu per satu. Sekarang, sepertisetiap bit diperiksa, bit ke kanan untuk diperiksa.Jika kedua bit adalah sama (1-1 atau 0-0), maka semua bitdari A, Q, dan Q-1 mendaftar dialihkan ke bit 1 kanan. Jika bit keduanya berbeda, dari multiplic and ditambahkan ke atau dikurangkan dari register A.Tergantung pada apakah kedua bit 0-1atau 1-0.penambahan atau pengurangan, pergeseran benar terjadi.Dalam kemudahan baik, pergeseran yang benar adalah seperti bahwa bit paling lieft dari A,yaitu angka 1, tidak hanya bergeser ke-1 Sebuah tetapi tetap di An-1. Ini diperlukan untuk melestarikan tanda-tanda nomor diA danT .Hal ini dikenal sebagai pergeseran aritmatika,karena mempertahankan bit tanda.

Gambar 9.13 menunjukkan urutan peristiwa dalam algoritma Booth untuk perkalian dari 7 dengan 3.Lebih kompak, operasi beberapa digambarkan pada Gambar 9.14a.yangpertama dari 9.14a Gambar diberikan contoh-contoh lain dari algoritma. Seperti dapat dilihat, ia bekerja dengan kombinasi angka positif dan negatif. Perhatikan Olso efisiensi algoritma. Blok 1s atau 0s yang melewatkan lebih, dengan rata-rata hanya satu penambahan atau pengurangan per blok.

Mengapa kerja algoritma Booth?Pertimbangkan pertama perawatan seorang tiplier positif. Secara khusus, mempertimbangkan multiplier positif consicting dari satu blok dari 1s dikelilingi oleh 0s (misalnya 00011110.). Seperti kita ketahui, perkalian dapat dicapai dengan menambahkan salinan tepat bergeser dari multiplicand:

Jumlah operasitersebut dapatdikurangi menjadi duajikakita mengamati bahwa

AlgoritmaBoothsesuai denganskema inidengan melakukanpenguranganketika1pertama dariblokditemui(1-0)dantambahanketikaujung blokditemui(0-1).

Untuk menunjukkan bahwaskemayang sama bekerjauntukmultipliernegatif, kitaperlu mengamatiberikut.X adalahangka negatif dalam notasipelengkapberpasangan:

Lalunilai Xdapat dinyatakan sebagaiberikut:

Anda dapat membuktikanini dengan menerapkanalgoritma untukjumlahpada Tabel9.2.
Bitpaling kiri dariX adalah1, karenaX adalahnegatif.Asumsikan bahwa0paling kiri dalam posisi.Jadi, X adalah dalam bentuk:

Maka nilai dariX adalah

Dari Persamaan (9,3), kita dapat mengatakan bahwa

menata ulang,

Kita bisa melihat bahwa algoritma Booth sesuai dengan skema ini.Ia melakukan pengurangan ketika pertama ditemui 1 (1-0), tambahan ketika (01) ditemui, dan akhirnya lain pengurangan ketika 1 pertama dari blok berikutnya dari 1s ditemui. Dengan demikian, algoritma Booth melakukan penambahan lebih sedikit suatu pengurangan yang dari algoritma yang lebih mudah.

ARITMATIKA INTEGER

Bagian ini akan membahas fungsi-fungsi aritmatik bilangan dalam representasi komplemen dua

a. Negasi

Pada notasi komplemen dua, pengurangan sebuah bilangan integer dapat dibentuk dengan menggunakan aturan berikut :

Anggaplah komplemen Boolean seluruh bit bilangan integer (termasuk bit tanda)
Perlakukan hasilnya sebagai sebuah unsigned binary integer, tambahkan 1.
Misal : 18 = 00010010 (komplemen dua)

Representasi Integer Positif, Negatif Dan Bilangan 0

Bila sebuah bilangan integer positif dan negatif yang sama direpresentasikan (sign-magnitude), maka harus ada representasi bilangan positif dan negatif yang tidak sama.

Bila hanya terdapat sebuah representasi bilangan 0 (komplemen dua), maka harus ada representasi bilangan positifdan negatif yang tidak sama.

Pada kasus komplemen dua, terdapat representasi bilangan n-bit untuk -2n, tapi tidak terdapat untuk 2n.

Aturan Untuk Mendeteksi Overflow

1. Aturan Overflow :

Bila dua buah bilangan ditambahkan, dan keduanya positif atau keduanya negatif, maka akan terjadi overflow bila dan hanya bila hasilnya memiliki tanda yang berlawanan, seperti pada contoh halaman 18 ((e),(f))

2. Aturan Pengurangan :

Untuk mengurangkan sebuah bilangan (subtrahend) dari bilangan lainnya (minuend), anggaplah komplemen dua subtrahend dan tambahkan hasilnya ke minuend.

b. Pembulatan

Teknik pembulatan yang sesuai dengan standard IEEE adalah sebagai berikut :

Pembulatan ke Bilangan Terdekat : Hasil dibulatkan ke bilangan terdekat yang dapat direpresentasi.

Pembulatan Ke Arah : Hasil dibulatkan ke atas ke arah tak terhingga positif.

Pembulatan Ke Arah : Hasil dibulatkan ke atas ke arah tak terhingga negatif.

Pembulatan Ke Arah 0 : Hasil dibulatkan ke arah 0

FLOATING POINT REPRESENTATION

Dalam komputasi floating point menjelaskan metode mewakili perkiraan dari sejumlah nyata dalam cara yang dapat mendukung berbagai nilai . Jumlahnya , secara umum , mewakili sekitar untuk tetap jumlah digit yang signifikan ( mantissa ) dan ditingkatkan menggunakan eksponen .

Dengan asumsi bahwa resolusi terbaik adalah di tahun cahaya , hanya 9 desimal yang paling signifikan digit materi , sedangkan sisanya 30 digit membawa suara murni , dan dengan demikian dapat dengan aman dijatuhkan. Ini merupakan penghematan dari 100 bit penyimpanan data komputer . Alih-alih dari 100 bit , jauh lebih sedikit digunakan untuk mewakili skala ( eksponen ) , misalnya 8 bit atau 2 digit desimal .

Istilah floating point mengacu pada fakta bahwa nomor itu radix point ( titik desimal , atau , lebih umum pada komputer , titik biner ) dapat “mengambang” , yang , dapat ditempatkan di manapun relatif terhadap angka yang signifikan dari nomor tersebut. Posisi ini diindikasikan sebagai komponen eksponen dalam representasi internal , dan floating point sehingga dapat dianggap sebagai realisasi komputer notasi ilmiah .
Selama bertahun-tahun , berbagai representasi floating-point telah digunakan dalam komputer . Namun, sejak tahun 1990 , representasi paling sering ditemui adalah bahwa didefinisikan oleh IEEE 754 standar . Dalam notasi ilmiah , jumlah yang diberikan ditingkatkan oleh kekuatan 10 sehingga terletak dalam kisaran tertentu – biasanya antara 1 dan 10 , dengan titik radix muncul segera setelah angka pertama . The faktor skala , sebagai kekuatan sepuluh , kemudian ditunjukkan secara terpisah pada akhir nomor . Misalnya, periode revolusi bulan Jupiter Io adalah 152853.5047 detik , nilai yang akan diwakili dalam notasi ilmiah standar – bentuk sebagai 1,528535047 × 105 detik .
Representasi floating-point mirip dalam konsep notasi ilmiah . Logikanya , angka floating -point terdiri dari:

1. Sebuah ditandatangani ( yang berarti positif atau negatif ) string yang digit panjang diberikan dalam dasar yang diberikan ( atau radix ) . String ini digit disebut sebagai significand , koefisien atau , lebih jarang , mantissa ( lihat di bawah ) . Panjang significand menentukan presisi yang nomor dapat diwakili. Radix Posisi titik diasumsikan untuk selalu berada di suatu tempat dalam significand – sering hanya setelah atau sebelum yang paling signifikan digit , atau di sebelah kanan paling kanan (paling signifikan ) digit . Artikel ini umumnya akan mengikuti konvensi bahwa titik radix hanya setelah paling signifikan ( paling kiri ) digit .

2. Sebuah integer ditandatangani eksponen , juga disebut sebagai karakteristik atau skala , yang memodifikasi besarnya nomor .
Untuk memperoleh nilai dari angka floating-point , seseorang harus kalikan significand dengan dasar pangkat dari eksponen , setara dengan menggeser radix poin dari posisi tersirat oleh sejumlah tempat sama dengan nilai eksponen – ke kanan jika eksponen positif atau ke kiri jika eksponen negatif.
Menggunakan basis- 10 ( notasi desimal akrab ) sebagai contoh , jumlah 152853,5047 , yang memiliki sepuluh angka desimal presisi , diwakili sebagai significand 1,528535047 bersama dengan eksponen 5 ( jika posisi tersirat dari radix point setelah pertama yang paling signifikan digit, di sini 1 ). Untuk menentukan nilai yang sebenarnya , titik desimal ditempatkan setelah digit pertama significand dan hasilnya dikalikan dengan 105 untuk memberikan 1,528535047 × 105 , atau 152853,5047. Dalam menyimpan nomor tersebut , dasar ( 10 ) tidak perlu disimpan , karena akan sama untuk seluruh kisaran angka didukung , dan dengan demikian dapat disimpulkan .
Secara simbolis , ini adalah nilai akhirdimana adalah nilai significand ( setelah memperhitungkan tersirat radix point) , B adalah dasar, dan E adalah eksponen.
ekuivalen : di mana s di sini berarti nilai integer dari seluruh significand , mengabaikan semua titik desimal tersirat , dan p adalah – presisi jumlah digit di significand tersebut .
Secara historis , beberapa pangkalan nomor telah digunakan untuk mewakili angka floating -point , dengan basis 2 ( biner ) yang paling umum, diikuti oleh basis 10 ( desimal ) , dan varietas yang kurang umum lainnya , seperti basis 16 ( notasi heksadesimal ) , sebagai serta beberapa yang eksotis seperti 3 (lihat Setun ) .
Angka floating-point adalah bilangan rasional karena mereka dapat direpresentasikan sebagai salah satu bilangan bulat dibagi dengan yang lain . Misalnya 1,45 × 103 adalah (145 /100) * 1000 atau 145000/100 . Dasar namun menentukan pecahan yang dapat diwakili . Misalnya , 1/ 5 tidak dapat diwakili tepat sebagai angka floating-point menggunakan basis biner tetapi dapat diwakili tepat menggunakan basis desimal ( 0,2 , atau 2 × 10-1. Namun 1/3 tidak dapat diwakili tepat oleh salah biner ( 0,010101 … ) atau desimal ( 0,333 ./ ) , tetapi dalam basis 3 itu adalah sepele ( 0,1 atau 1 × 3-1 ) .

Kesempatan di mana ekspansi terbatas terjadi tergantung pada dasar dan faktor utama, seperti yang dijelaskan dalam artikel tentang Notasi Positional, Cara di mana significand tersebut , eksponen dan tanda bit secara internal disimpan di komputer sangat tergantung dari implementasi .

Secara Umum format IEEE dijelaskan secara rinci nanti dan di tempat lain , tetapi sebagai contoh , dalam representasi ( 32 -bit ) floating-point presisi tunggal biner p = 24 dan seterusnya significand adalah string dari 24 bit . Misalnya , jumlah π pertama 33 bit adalah 11001001 00001111 11011010 10100010 0 . Mengingat bahwa bit -24 adalah nol , pembulatan sampai 24 bit dalam mode biner berarti menghubungkan bit -24 dengan nilai 25 yang menghasilkan 11.001.001 00.001.111 11.011.011 . Ketika ini disimpan menggunakan pengkodean IEEE 754 , ini menjadi significand dengan e = 1 (di mana s diasumsikan memiliki titik biner di sebelah kanan bit pertama ) setelah kiri penyesuaian ( atau normalisasi ) selama memimpin atau tertinggal nol terpotong harus ada apapun .

Floating Point Arithmetic

Sistem penempatan titik desimal dengan cara membagi word menjadi dua bagian. Satu bagian berisi angka pecahan, sebagian lainnya merupakan eksponen dari sepuluh. Posisi efektif dari titik desimal akan berubah ketika eksponennya diubah. Sistem ini digunakan untuk menyatakan hasil perhitungan yang sangat besar atau sangat kecil.

1. Bentuk Bilangan Floating Point

Bilangan Floating Point memiliki bentuk umum : + m * b e , dimana m (disebut juga dengan mantissa), mewakili bilangan pecahan dan umumnya dikonversi ke bilangan binernya, e mewakili bilanganexponentnya, sedangkan b mewakili radix (basis) dari exponent.

2. Macam-macam

bentuk bilangan floating point; Untuk mempermudah operasi bilangan floating point dan menambah tingkat presisinya, maka bilangan tersebut dibuat dalam bentuk ternormalisasi (normalized forms). Suatu bilangan floating point telah ternormalisasi jika most significant bit (MSB) dari mantissanya adalah 1. Karena itu, diantara ketiga bentuk diatas dari bilangan 1,75, maka bentuk yang telah ternormalisasi adalah bentuk yang paling atas, dan disarankan untuk digunakan. Karena nilai MSB dari bilangan Floating Point yang telah ternormalisasi selalu 1, maka bit ini tidak disimpan, sehingga nilai mantissa yang tersimpan adalah 1.m. Sehingga untuk bilangan floating point bukan nol yang ternormalisasi memiliki bentuk (1) S * (1.m) * 2 e128

3. Aritmetika Floating Point Penjumlahan / Pengurangan

Hal yang sulit dari penjumlahan dua bilangan exponent adalah jika bilangan bilangan tersebut memiliki bentuk exponensial yang berbeda. Unutk memecahkannya, maka sebelum ditambahkan bilangan exponensialnya harus disetarakan terlebih dahulu, atau bilangan dengan nilai exponent lebih kecil disamakan dulu ke bilangan exponent yang sama dengan bilangan lain.

Langkah-langkah yang dilakukan untuk menambah/mengurangkan dua bilangan floating point:

1. Bandingkan kedua bilangan, dan ubah ke bentuk yang sesuai pada bilangan dengan nilai exponensial lebih kecil

2. Lakukan operasi penjumlahan / pengurangan

3. Lakukan normalisasi dengan ’menggeser’ nilai mantissa dan mengatur nilai exponensialnya

Contoh : Jumlahkan dua bilangan floating point 1,1100 * 2 4 dan 1,1000 * 2 2

1. Sesuaikan : 1,1000 * 2 2 diubah menjadi 0,0110 * 2 4

2. Jumlahkan : hasil penjumlahan 10,0010 * 2 4

3. Normalisasi : hasil setelah dinormalisasi adalah 0,1000 * 2 6 ( dianggap bit

yang diijinkan setelah koma adalah 4)

4. Perkalian

Perkalian dari dua bilangan floating point dengan bentuk X = mx * 2 a dan Y = mx * 2 b setara dengan X * Y = (mx * my) * 2 a+b.

Algoritma umum untuk perkalian dari bilangan floating point terdiri dari tiga langkah:

1. Hitung hasil exponensial dengan menjumlahkan nilai exponent dari kedua

bilangan

2. Kalikan kedua bilangan mantissa

3. Normalisasi hasil akhir

Contoh : Perkalian antara dua bilangan floating point X = 1,000 * 2 2

dan Y = 1,010*2 1

1. Tambahkan bilangan exponennya : 2+ (1) = 3

2. Kalikan mantissa: 1,0000 * 1,010 = 1,010000 Hasil perkaliannya adalah 1,0100 * 2 3

5. Pembagian

Pembagian dari dua bilangan floating point dengan bentuk X = mx * 2 a dan Y = mx * 2 b setara dengan X / Y = (mx / my) * 2 ab.

Algoritma umum untuk pembagian dari bilangan floating point terdiri dari tiga langkah :

1. Hitung hasil exponensial dengan mengurangkan nilai exponent dari kedua bilangan

2. Bagi kedua bilangan mantissa

3. Normalisasi hasil akhir

Contoh : Pembagian antara dua bilangan floating point X = 1,0000 * 2 2 dan Y = 1,0100 * 2 1

1. Kurangkan bilangan exponennya : 2 – (1) = 1

2. Bagi mantissa: 1,0000 / 1,0100 = 0,11015

Hasil pembagiannya adalah 0,1101 * 2 1

6. Floating Point standard IEEE

IEEE membuat dua bentuk bilangan floating point standard. Bentuk basic dan bentuk extended. Pada tiap bentuk tersebut, IEEE menentukan dua format, yaitu singleprecision dan double precision format.Single precision format adalah model 32bit sedangkan double precision format adalah 64bit. Padasingle extended format setidaknya menggunakan 44 bit, sedangkan pada double extended formatsetidaknya menggunakan 80 bit.

IEEE single precision Format

Jika jumlah bit bilangan exponent adalah 8, maka nilainya memiliki 256 kombinasi, diantara angkaangka tersebut, dua kombinasi digunakan sebagai nilai khusus:

1. e = 0 bernilai nol (jika m = 0) dan nilai terdenormalisasi (jika m ≠ 0)

2. e = 255 bernilai + ∞ (jika m = 0) dan nilai tak terdefinisi (jika m ≠ 0)

m = 0 m ≠ 0

e = 0 0 Terdenormalisasi

e = 255 + ∞ Tidak Terdefinisi

IEEE Double Precision Format

Bentuk ini memiliki kolom exponent 11 bit dan kolom nilai mantissa sebesar 52 bit.

IEEE double precision format

Karakteristik SinglePrecision

Double Precision

Panjang dalam bits 32 64

Bagian pecahan dalam bits 23 52

Bit tersembunyi 1 1

Panjang Exponent dlm bits 8 11

Bias 127 1023

Range 2 128 ≈ 3,8 x 10 38 2 1024 ≈ 9,0 x 10 307

Nilai ternormalisasi terkecil 2 126

≈ 10 38

2 1022

≈ 10 308

Video floating point representations and arithmetic;

kesimpulan:
unit arimatik dan logik salah satu bagian penting dalam komputer yang dibuat untuk tujuan umum (general purpose). bagian ini yang membedakan komputer spesifik aplikasi tertentu dan komputer tujuan khusus(embedded system) dalam komputer tujuan umum, unit aritmetik dan logik dibuat dengan fleksible sehingga mampu melakukan berbagai proses yang diperlukan oleh prosessor.
ALU bekerja sama dengan memori, dimana hasil dari perhitungan di dalam ALU di simpan ke dalam memori. Perhitungan dalam ALU menggunakan kode biner, yang merepresentasikan instruksi yang akan dieksekusi (opcode) dan data yang diolah (operand). ALU biasanya menggunakan sistem bilangan biner (two’s complement). ALU mendapat data dari register. Kemudian data tersebut diproses dan hasilnya akan disimpan dalam register tersendiri yaitu ALU. ALU melakukan operasi arithmatika dengan dasar pertambahan, sedang operasi arithmatika yang lainnya, seperti pengurangan, perkalian, dan pembagian dilakukan dengan dasar penjumlahan. sehingga sirkuit elektronik di ALU yang digunakan untuk melaksanakan operasi arithmatika ini disebut adder. tugas utama dari ALU (Arithmetic And Logic Unit) adalah melakukan semua perhitungan aritmatika atau matematika yang terjadi sesuai dengan instruksi program.

Sumber:

http://iandoank.blogspot.com/2007/12/aritmatika-komputer.html
http://komputer.yn.lt/adalah/?arti=Floating%20Point%20Arithmetic
http://listiyohany.blogspot.com/2013/01/io-terprogram.html